sábado, 16 de octubre de 2010

jueves, 12 de marzo de 2009

ESTATICA







http://www.youtube.com/watch?v=MXqWaRB_tmE&feature=related


http://www.youtube.com/watch?v=9lGQ7hxiuB4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=vhvDUTJwIPE&feature=related
















































































































La Estática es la parte de la mecánica que estudia el equilibrio de fuerzas, sobre un cuerpo en reposo.
Estática es la rama de la mecánica que analiza las cargas (fuerza, par / momento) en los sistemas físicos en equilibrio estático, es decir, en un estado en el que las posiciones relativas de los subsistemas no varían con el tiempo. Por la primera ley de Newton, esta situación implica que la red de la fuerza y el par neto (también conocido como momento de la fuerza) de cada organismo en el sistema es igual a cero. De esta limitación, las cantidades como la carga o la presión pueden ser derivadas. La red de fuerzas de igual a cero se conoce como la primera condición de equilibrio, y el par neto igual a cero se conoce como la segunda condición de equilibrio.






La estática proporciona, mediante el empleo de la mecánica del sólido rígido, solución a los problemas denominados isostáticos. En estos problemas, es suficiente plantear las condiciones básicas de equilibrio, que son:
El resultado de la suma de fuerzas es nulo.
El resultado de la suma de momentos respecto a un punto es nulo.
Estas dos condiciones, mediante el álgebra vectorial, se convierten en un sistema de ecuaciones; la resolución de este sistema de ecuaciones, es resolver la condición de equilibrio.
Existen métodos de resolución de este tipo de problemas estáticos mediante gráficos, heredados de los tiempos en que la complejidad de la resolución de sistemas de ecuaciones se evitaba mediante la geometría, si bien actualmente se tiende al cálculo por ordenador.
Para la resolución de problemas hiperestáticos (aquellos en los que el equilibrio se puede alcanzar con distintas combinaciones de esfuerzos) es necesario considerar ecuaciones de compatibilidad. Dichas ecuaciones adicionales de compatibilidad se obtienen mediante la introducción de deformaciones y tensiones internas asociadas a las deformaciones mediante los métodos de la mecánica de sólidos deformables, que es una ampliación de la mecánica del sólido rígido que, además, da cuenta de la deformabilidad de los sólidos y sus efectos internos.
Existen varios métodos clásicos basados en la mecánica de sólidos deformables, como los teoremas de Castigliano o las fórmulas de Navier-Bresse.






























TEMARIO

1 Analisis de la particula
1.1 Introduccion
1.2 Concepto de fuerza, vector
1.3 Descomposicion de fuerzas en 2 y 3 dimensiones (expresion de fuerzas con vectores unitarios, cosenos directores)
1.4 Sistema de fuerzas concurrentes
1.5 Equilibrio de una particula
2 Analisis del cuerpo rigido
2.1 Fuerzas internas y externas
2.2 Principio de transmisibilidad
2.3 Diagrama de cuerpo libre
2.4 Momento de una fuerza con respecto a un punto
2.5 Momento de una fuerza con respecto a un eje
2.6 Par de fuerzas
2.7 Descomposicion de una fuerza en una fuerza y un par
2.8 Sistemas equivalentes de fuerzas
2.9 Fuerzas coplanares
2.10 Fuerzas concurrentes
2.11 Restricciones al movimiento y fuerzas reactivas
2.12 Equilibrio en cuerpos rigidos sujetos a sistemas de fuerzas
2.13 Determinacion de reacciones por medio de sistemas equivalentes
3 Metodo de analisis de estructuras
3.1 Introduccion
3.2 Analisis de armadura en el plano
3.3 Analisis de marcos isostaticos
3.4 Analisis de maquinas de baja velocidad
3.5 Metodo del trabajo virtual
4 Propiedades de areas planas y lineas
4.1. Introduccion
4.2. Primer momento de lineas y areas (centroides y centros de gravedad de areas por integracion y compuestas)
4.3. Segundo momento de area (simple, polar de area, teorema de ejes paralelos en 2 dimensiones, segundo momento de areas compuestas)
5 Friccion
5.1 Friccion
5.2 Friccion seca
5.3 Leyes de friccion
5.4 Coeficientes y angulos de friccion
5.5 Analisis en planos inclinados




Mecanica vectirial para ingenieros
Beer, Johnston, Eisenberg
Examen 60%
Tareas y trabajos 30%
Participación
UNIDAD I. Vectores y equilibrio de particula.
*magnitud de dirección
*representación grafica

8 (7,8)

Br
VECTORES
Características:
*Magnitud
*Direccion
*Sentido



Fuerzas y equilibrio





















La estática determina las condiciones bajo las cuales un cuerpo actuado
por diversas fuerzas permanece en equilibrio, es decir en reposo. El desarrollo
de la estática viene desde mucho tiempo atrás, mucho antes del desarrollo
de la dinámica. Algunos de sus principios fueron formulados por los egipcios
y los babilónicos en problemas relacionados con la construcción de las
pirámides y de templos. Entre los más antiguos escritos sobre este tema se
puede mencionar a Arquímedes quién formuló los principios del equilibrio
de fuerzas actuando en palancas y algunos principios de la hidrostática. Por
estas razones no creemos conveniente considerar a la estática como un caso
particular de la dinámica.
La principal razón para que desarrollo de la dinámica fuera posterior,
está directamente relacionada con el desarrollo de los métodos para medir el
tiempo, es decir del desarrollo de los relojes.
Generalmente ocurre algo similar. Un avance en una teoría permite la
construcción de nuevos aparatos de medición que a su vez ayudan a perfeccionar
la teoría y así sucesivamente. El desarrollo de nuevas tecnologías
permite el avance en las teorías y recíprocamente. ¿Qué fue primero?. Nuestra
posición es que lo primero es la observación del mundo natural mediante
los instrumentos naturales básicos, nuestros sentidos.













Condiciones de equilibrio. Leyes de la estática
Equilibrio de una partícula
La condición necesaria y suficiente para que una partícula permanezca
en equilibrio (en reposo) es que la resultante de las fuerzas que actúan sobre
ella sea cero
F�� =
X
F��i = ��0. (4.1)
Naturalmente con esta condición la partícula podría también moverse
con velocidad constante, pero si está inicialmente en reposo la anterior es
una condición necesaria y suficiente.











De un sistema de partículas
Para que un sistema de partículas permanezca en equilibrio, cada una de
sus partículas debe permanecer en equilibrio. Ahora las fuerzas que actúan
sobre cada partícula son, en parte de interacción f��ij con las otras partículas
del sistema y en parte proveniente del exterior F�� ext
i , es decir
�� F
i = F�� ext
i +
X
j6=i
f��ij . (4.2)
Aquí f��ij representa la fuerza que la partícula j ejerce sobre la partícula i. Pero
las fuerzas de interacción satisfacen la tercera ley de Newton, ley llamada de
acción y reacción que dice
f��ij = −f��ji, además que f��ij es paralela a la línea que une las partículas i con j
f��ij × (��ri −��rj) = ��0.






Suma de fuerzas






Cuando sobre un cuerpo o sólido rígido actúan varias fuerzas que se aplican en el mismo punto, el cálculo de la fuerza resultante resulta trivial: basta sumarlas vectorialmente y aplicar el vector resultante en el punto común de aplicación.
Sin embargo, cuando existen fuerzas con puntos de aplicación diferentes es necesario determinar el punto de aplicación de la fuerza resultante. Para fuerzas no paralelas esto puede hacerse sumando las fuerzas dos a dos. Para ello se consideran dos de las fuerzas y se trazan rectas prolongando las fuerzas en ambos sentidos y buscando su intersección. Esa intersección será un punto de paso de la fuerza suma de las dos. A continuación se substituyen las dos fuerzas por una única fuerza vectorial suma de las dos anteriores aplicada en el punto de intersección. Esto se repite n-1 veces para un sistema de n fuerzas y se obtiene el punto de paso de la resultante.
Este algoritmo puede ser bastante pesado para un número de fuerzas elevado. Además cuando varias de las fuerzas son paralelas puede no funcionar. Para hacer más rápido el cálculo del punto de paso puede usarse en el caso de fuerzas coplanares el método del polígono funicular, que es computacionalmente más rápido y aplicable también al caso de que todas las fuerzas sean paralelas (y por tanto sus rectas de acción, sin puntos de intersección).










De este modo un sistema de partículas está en equilibrio si
F�� ext
i +
X
j6=i
f��ij = ��0, para todo i.
En otras palabras la resultante de las fuerzas que actúan sobre cada partícula
debe ser nula.













Cuerpo rígido
En el desarrollo de la estática consideraremos situaciones de equilibrio
de cuerpos rígidos, es decir que no se deforman. En rigor no existen cuerpos
indeformables, de manera que la aplicación de las leyes de la estática es una
aproximación que es buena si las deformaciones son despreciables frente a
otras dimensiones del problema. El tema de la estática de cuerpos deformable
es el tema de otros cursos.
Si el cuerpo rígido permanece en equilibrio con el sistema de fuerzas exteriores
aplicado, entonces para que todas las partículas estén en equilibrio
es suficiente que tres de sus partículas no colineales estén en equilibrio. Las
demás no pueden moverse por tratarse de un cuerpo rígido. Las condiciones
bajo las cuales un cuerpo rígido permanece en equilibrio son que la fuerza externa
resultante y el torque externo resultante respecto a un origen arbitrario
son nulos, es decir
F�� ext =
X
�� F
ext
i = ��0, (4.5)
��Γext
O =
X
��ri × F�� ext
i = ��0, (4.6)
siendo O un punto arbitrario. De acuerdo a
��ΓA =
X
(��ri − ��rA) × F��i = ��ΓO −��rA × F�� ,
se constata que entonces el torque resultante es cero respecto a cualquier
punto.
La fuerza de roce estática
Cuando los cuerpos están en equilibrio, la fuerza de roce se denomina
fuerza de roce estática fs. En la figura siguiente se ilustra lo que acontece
cuando un cuerpo permanece en equilibrio bajo el sistema de fuerzas indicado
T
N
mg
fS (b)
La resultante de las fuerzas en el sentido horizontal y vertical debe ser nula,
entonces
T − fS = 0,
N − mg = 0,
de donde
fS = T, (4.8)
N = mg.



















Es decir, la fuerza de roce permanece igual a la fuerza aplicada de tensión.
Pero eso tiene un límite, La fuerza de roce estática puede aumentar hasta
un límite, el cual depende de la naturaleza de las superficies en contacto a
través de un coeficiente μS llamado coeficiente de roce estático, y del grado
en que las superficies estén apretadas entre sí, esto es ese valor máximo es
proporcional a la componente normal de la fuerza N. En este modelo entonces

fm´ax
S = μS N,

fS 0 μS N.
















Si la fuerza aplicada T iguala a ese valor máximo se dice que el cuerpo está en
equilibrio límite o bien a punto de resbalar. Para fuerzas aplicadas mayores
el cuerpo se pondrá en movimiento acelerado, tema que será estudiado en el
capitulo de dinámica.


y2 (x2,y2)


y1 (x1,y1)



magnitud dada por el modulo


(X1,Y1)
R

(0,0)

A=<3,5> B=<7,8>

A+B=<10,13>


















Aplicaciones






La estática abarca el estudio del equilibrio tanto del conjunto como de sus partes constituyentes, incluyendo las porciones elementales de material.
Uno de los principales objetivos de la estática es la obtención de esfuerzos cortantes, fuerza normal, de torsión y momento flector a lo largo de una pieza, que puede ser desde una viga de un puente o los pilares de un rascacielos.
Su importancia reside en que una vez trazados los diagramas y obtenidas sus ecuaciones, se puede decidir el material con el que se construirá, las dimensiones que deberá tener, límites para un uso seguro, etc., mediante un análisis de materiales. Por tanto, resulta de aplicación en ingeniería estructural, ingeniería mecánica, construcción, siempre que se quiera construir una estructura fija. Para el análisis de una estructura en movimiento es necesario considerar la aceleración de las partes y las fuerzas resultantes.
El estudio de la Estática suele ser el primero dentro del área de la ingeniería mecánica, debido a que los procedimientos que se realizan suelen usarse a lo largo de los demás cursos de ingeniería mecánica.
















Hallar los componentes y la magniud del vector v que tiene como punto inicial (3,-7) y punto final (-2,5).

V
P(3,-7)
Q(-2,5)
V1=
=13 MAGNITUD

DEFINICION DE UN VECTOR EN UN PUNTO PLANO MEDIANTE SUS COMPONENTES

Si V es un vector en el plano cuyo punto inicial es el origen y cuyo punto final es entonces el vector V queda dado mediante sus comonentes de la siguiente manera:
V
Si las coordenadas V1 y V2 son las componentes de V .Si el punto inicial y el punto final están en el origen entonces B es el vector 0 y se denota por:
0=<0,0>
V1=


PQ=<-2-3 , 5-(-7)>
V=<-5,12>
=13 MAGNITUD

final





inicial


Hayar los vectores u y v cuyos puntos inicial y final se dan. Mostrar que u y v son equivalentes.


P Q
U: (3,2) (5,6)
V: (-1,4) (1,8)

U: (0,3) (6,-2)
V: (3,10) (9,5)

RESULTANTE DE DOS VECTORES: Es equivalente a la suma de sus vectores.

las fuerzas se representan como vectores.

solucion trigonometrica.


un lanchon es arrastrado con dos remolcadores, si la fuerza resultante de las fuerzas ejercidas es una fuerza de 5000 libras dirigidas a lo largo del eje del lanchon, determine la tencion de cada una de las cuerdas.

Dos fuerzas se aplican a una armella sujeta a una viga. Determine grafiacamente la magnitud y direccion de su resultante usando:

a) la ley del paralelogramo

b) la ley del triangulo.


Los tirantes del cable AB, Y AD sostienen al poste AC. Se sabe que la tensión es de 500n en AB y 160N en AD, ahora determine gráficamente la magnitud y dirección de la resultante de las fuerzas ejercidas por los tirantes en A usando:

VECTORES CONCURRENTES.

Un hombre jala una cuerda atada a un edificio con una fuerza de 300N. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida?.

PRINCIPIO DE TRANSMISIBIIDAD.

Una fuerza de de 700lb en el sentido positivo (1500lb) se aplica a un perno. Determine la magnitud de la fuerza y el ángulo que forma con la horizontal.

EQUILIBRIO DE PARTICULA.

Una particula se encuentra en equilibrio, cuando la fuerza que actua sobre ella satisfacen:

∑F=0

La situación a este tipo de problemas puede ser grafica o analitica:









UNIDAD TEMÁTICA Nº 1 - ESTÁTICA DE LA PARTÍCULA
TRBAJO PRACTICO Nº 1
ESTÁTICA DE LA PARTÍCULA
EJERCICIO Nº 1.1
La fuerza “F” que actúa en la estructura de la figura tiene una magnitud de “D”Kg. y se
descompondrá en dos componentes que actúan a lo largo de los tirantes AB y AC. Determine el
ángulo q, medido bajo la horizontal de tal forma que la componente FAC esté dirigida de A hacia
C y tenga una magnitud de “E” Kg.

datos

D: 600
E: 480
F: 30º






































EJERCICIO Nº 1.2
El anillo mostrado en la figura está sometido a dos fuerzas F1y F2. Si se requiere que la fuerza
resultante tenga una magnitud de “D” Kg y dirección vertical hacia abajo, determine: a) las
magnitudes de F1y F2 para q=”E” y b) las magnitudes de F1 y F2 pero F2 debe tener el mínimo
valor posible.




datos




D: 100
E: 30º
F: 20º














































3.3 una fuerza P de 13.12 es aplicada a una palanca que controla la barrena de una barredora de nieva. Determine el momento de P respecto a A cuando el angulo es igual a 30°.

Px = Psinα = (13.2 N)sin 30° = 6.60 N
Py = Pcosα = (13.2 N)cos30° = 11.4315 N
MA = xB/APy + yB/APx
= (0.086 m)(11.4315 N) + (0.122 m)(6.60 N)
= 1.78831 N⋅m
or MA = 1.788 N⋅m













































































3.6 una rotulo esta suspendido de dos cadenas AE y BF. Si la tensión en BF es de 45lb, determine a) el momento de la fuerza ejercida por la cadena en B respecto a A, b) la fuerza minima aplicada en C que produce el mismo momento respecto a A.
MA = rB/A × TBF
MA = xTBFy + yTBFx
= (6.5 ft)(45 lb)sin 60° + (4.4 ft − 3.1 ft)(45 lb)cos60°
= 282.56 lb⋅ft
MA = 283 lb⋅ft
MA = rC/A × FC min
∴ MA = d FC min



































∴ 282.56 lb⋅ft = 7.8492 ft (FC)min
(FC )min = 35.999 lb

θ = 90° − φ = 90° − 34.095° = 55.905°
(FC )min = 36.0 lb























































3.9 un malacate en AB se usa para tensar cables a un poste. Si la tencion en el cable BC es de 260 y las longitudes a, b, d miden 8,35 y 76in, respectivamente, determine el momento , respecto a D, de la fuerza ejercida por el cable C mediante la descomposición en sus componentes horizontal y vertical de la fuerza aplicada en a) el punto C, b) el punto E.

TABx=(12/13)(260)=240
TABy= (5/13 )(260 lb)= 100 lb

MD = TABx (35 in.) − TABy (8 in.)
= (240 lb)(35 in.) − (100 lb)(8 in.)
= 7600 lb⋅in.
MD = 7600 lb⋅in
MD = TABx ( y) + TABy (x)
= (240 lb)(0) + (100 lb)(76 in.)
= 7600 lb⋅in
MD = 7600 lb⋅in.





































































Utilice el metodo de nodos para determinar la fuerza presente en cada una de las armaduras que muestran las figuras. Establezca si los elementos están en tensión o en compresión.

1. MB = 0: (6.25 m)Cy -(4 m)(315 N) = 0 Cy = 240 N
Fy = 0: By - 315 N + Cy = 0 By = 75 N
Fx = 0: Bx = 0
FAB /5 = FBC/4 = 75N/3

FAB = 125.0 N C

FBC=100.0 N T
FAC = 260 N C












































































2. MA = 0: (14 ft)Cx - (7.5 ft)(5.6 kips) = 0 Cx = 3 kips

Fx = 0: - Ax + Cx = 0 Ax = 3 kips
Fy = 0: Ay-5.6 kips = 0 Ay = 5.6 kips

FBC/5 = FAC/4 = 3/3

FBC = 5.00 kips C
FAC = 4.00 kips T

FAB /8.5 = 1.6/4

FAB = 3.40 kips T

























































FUERZAS DISTRIBUIDAS:
CENTROIDES Y CENTROS
DE GRAVEDAD
5.1 Introducción
Áreas y líneas
5.2 Centro de gravedad de un cuerpo
bidimensional
5.3 Centroides de áreas y líneas
5.4 Primeros momentos de áreas y
líneas
5.5 Placas y alambres compuestos
5.6 Determinación de centroides por
integración
5.7 Teoremas de Pappus-Guldinus
5.8 Cargas distribuidas en vigas
5.9 Fuerzas sobre superficies
sumergidas
Volúmenes
5.10 Centro de gravedad de un cuerpo
tridimensional. Centroide de un
volumen
5.11 Cuerpos compuestos
5.12 Determinación de centroides de
volúmenes por integración

















5.1. INTRODUCCIÓN
Hasta ahora se ha supuesto que la atracción ejercida por la Tierra sobre
un cuerpo rígido podía representarse por una sola fuerza W. Esta
fuerza, denominada fuerza de gravedad o peso del cuerpo, debía aplicarse
en el centro de gravedad del cuerpo (sección 3.2). De hecho, la
Tierra ejerce una fuerza sobre cada una de las partículas que constituyen
al cuerpo. En este sentido, la acción de la Tierra sobre un cuerpo
rígido debe representarse por un gran número de pequeñas fuerzas
distribuidas sobre todo el cuerpo. Sin embargo, en este capítulo se
aprenderá que la totalidad de dichas fuerzas pequeñas puede ser reemplazada
por una sola fuerza equivalente W. También se aprenderá cómo
determinar el centro de gravedad, esto es, el punto de aplicación
de la resultante W, para cuerpos de varias formas.
En la primera parte del capítulo se describen cuerpos bidimensionales
como placas planas y alambres que están contenidos en un plano
dado. Se introducen dos conceptos que están muy relacionados con
la determinación del centro de gravedad de una placa o de un alambre:
el concepto de centroide de un área o de una línea y el concepto
del primer momento de un área o de una línea con respecto a un eje
dado.
También se aprenderá que el cálculo del área de una superficie de
revolución o del volumen de un cuerpo de revolución está directamente
relacionado con la determinación del centroide de la línea o del área
utilizados para generar dicha superficie o cuerpo de revolución (teoremas
de Pappus-Guldinus). Además, como se muestra en las secciones
5.8 y 5.9, la determinación del centroide de un área simplifica el análisis
de vigas sujetas a cargas distribuidas y el cálculo de las fuerzas ejercidas
sobre superficies rectangulares sumergidas, como compuertas hidráulicas
y porciones de presas.
Al final del capítulo se aprenderá cómo determinar tanto el centro
de gravedad de cuerpos tridimensionales como el centroide de un
volumen y los primeros momentos de dicho volumen con respecto a
los planos coordenados.

























ÁREAS Y LÍNEAS
5.2. CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO BIDIMENSIONAL
Para iniciar, considere una placa plana horizontal (figura 5.1). La placa
puede dividirse en n elementos pequeños. Las coordenadas del pri
mer elemento se representan con x1 y y1, las del segundo elemento se
representan con x2 y y2, etcétera. Las fuerzas ejercidas por la Tierra
sobre los elementos de la placa serán representadas, respectivamente,
con W1, W2, . . . , Wn. Estas fuerzas o pesos están dirigidos hacia
el centro de la Tierra; sin embargo, para todos los propósitos prácticos,
se puede suponer que dichas fuerzas son paralelas. Por tanto, su resultante
es una sola fuerza en la misma dirección. La magnitud W de esta
fuerza se obtiene a partir de la suma de las magnitudes de los pesos
de los elementos.
Fz: WW1 W2      Wn
para obtener las coordenadas x y y del punto G, donde debe aplicarse
la resultante W, se escribe que los momentos de W con respecto a los
ejes y y x son iguales a la suma de los momentos correspondientes de
los pesos elementales, esto es
My: x W x1 W1  x2 W2      xn Wn
Mx: y W y1 W1  y2 W2      yn Wn
(5.1)
Si ahora se incrementa el número de elementos en los cuales se ha dividido
la placa y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento
se obtienen, en el límite, las siguientes expresiones:
W  dW xW  x dW yW  y dW (5.2)
Estas ecuaciones definen el peso W y las coordenadas x y y del centro
de gravedad G de una placa plana. Se pueden derivar las mismas ecuaciones
para un alambre que se encuentra en el plano xy (figura 5.2).
Se observa que usualmente el centro de gravedad G de un alambre no
está localizado sobre este último.

















5.3. CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS
En el caso de una placa plana homogénea de espesor uniforme, la magnitud
W del pcso de un elemento de la placa puede expresarse como
W t A
donde  peso específico (peso por unidad de volumen) del material
t espesor de la placa
A área del elemento
En forma similar, se puede expresar la magnitud W del peso de toda
la placa como
W tA
donde A es el área total de la placa.
Si se emplean las unidades de uso común en Estados Unidos, se
debe expresar el peso específıco  en lb/ft3, el espesor t en pies y las
áreas A y A en pies cuadrados. Entonces, se observa que W y W
estarán expresados en libras. Si se usan las unidades del SI, se debe
expresar a  en N/m3, a t en metros y a las áreas A y A en metros
cuadrados; entonces, los pesos W y W estarán expresados en newtons.†
Si se sustituye a W y a W en las ecuaciones de momento (5.1) y
se divide a todos los términos entre t, se obtiene
My: xA x1 A1  x2 A2      xn An
Mx: yA y1 A1  y2 A2      yn An
Si se incrementa el número de elementos en los cuales se divide el área
A y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento, se obtiene
en el límite
x
A  x dA yA  y dA (5.3)
Estas ecuaciones definen las coordenadas x y y del centro de gravedad
de una placa homogénea. El punto cuyas coordenadas son x y y también
se conoce como el centroide C del área A de la placa (figura 5.3).
Si la placa no es homogénea, estas ecuaciones no se pueden utilizar para
determinar el centro de gravedad de la placa; sin embargo, éstas aún
definen al centroide del área.
En el caso de un alambre homogéneo de sección transversal uniforme,
la magnitud W del peso de un elemento de alambre puede
expresarse como
W a L
donde  peso específico del material
a área de la sección transversal del alambre
L longitud del elemento
†Se debe señalar que en el Sistema Internacional de unidades generalmente se caracteriza
a un material dado por su densidad (masa por unidad de volumen) en lugar de caracterizarlo
por su peso específico . Entonees, el pcso específico del material se puede
obtener a partir de la relación
 g
donde g 9.81 m/s2. Como se expresa en kg/m3, se observa que  estará expresado en
(kg/m3)(m/s2), esto es, en N/m3.

















El centro de gravedad de un alambre coincide con el centroide C de
la línea L que define la forma del alambre (figura 5.4). Las coordenadas
x
y y del centroide de la línea L se obtienen a partir de las ecuaciones
x
L  x dL yL  y dL (5.4)
5.4. PRIMEROS MOMENTOS DE ÁREAS Y LÍNEAS
La integral  x dA en las ecuaciones (5.3) de la sección anterior se conoce
como el primer momento del área A con respecto al eje y y se representa
con Qy. En forma similar, la integral  y dA define el primer
momento de A con respecto al eje x y se representa con Qx. Así se escribe
Qy  x dA Qx  y dA (5.5)
Si comparamos las ecuaciones (5.3) con las ecuaciones (5.5), se observa
que los primeros momentos del área A pueden ser expresados como
los productos del área con las coordenadas de su centroide:
Qy xA Qx yA (5.6)
A partir de las ecuaciones (5.6) se concluye que las coordenadas del
centroide de un área pueden obtenerse al dividir los primeros momentos
de dicha área entre el área misma. Los primeros momentos de un
área también son útiles en la mecánica de materiales para determinar
los esfuerzos de corte en vigas sujetas a cargas transversales. Por último,
a partir de las ecuaciones (5.6) se observa que si el centroide de un área
está localizado sobre un eje coordenado, entonces el primer momento
del área con respecto a ese eje es igual a cero. De manera inversa, si el
primer momento de un área con respecto a un eje coordenado es igual
a cero, entonces el centroide del área está localizado sobre ese eje.
Se pueden utilizar relaciones similares a partir de las ecuaciones
(5.5) y (5.6) para definir los primeros momentos de una línea con respecto
a los ejes coordenados y para expresar dichos momentos como los
productos de la longitud L de la línea y las coordenadas x y y de su centroide.
5.4. Primeros momentos de áreas y líneas 223
O x
x
y
y
O x
y
A
=
Δ A
ΣMy : ⎯x A = Σ x ΔA
ΣMx : ⎯y A = Σy ΔA
C
⎯y
⎯x
x
x
y
y
O
x
y
O
=
⎯y
⎯x Δ L
L
ΣMy : ⎯x L = Σ x ΔL
ΣMx : ⎯y L = Σ y ΔL
C

















5.5. PLACAS Y ALAMBRES COMPUESTOS
En muchos casos, una placa plana puede dividirse en rectángulos, triángulos
u otras de las formas comunes mostradas en la figura 5.8A. La
abscisa X de su centro de gravedad G puede determinarse a partir de
las abscisas x1, x2, . . . , xn de los centros de gravedad de las diferentes
partes que constituyen la placa, expresando que el momento del peso
de toda la placa con respecto al eje y es igual a la suma de los momentos
de los pesos de las diferentes partes con respecto a ese mismo
eje (figura 5.9). La ordenada Y del centro de gravedad de la placa se
encuentra de una forma similar, igualando momentos con respecto al
eje x. Así, se escribe
My: X(W1  W2      Wn) x1W1  x2W2     xnWn
Mx: Y(W1  W2      Wn) y1W1  y2W2      ynWn

















W xW YW yW (5.7)
Estas ecuaciones se pueden resolver para las coordenadas X y Y del
centro de gravedad de la placa.









RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
EN FORMA INDEPENDIENTE
En esta lección se desarrollaron las ecuaciones generales para localizar los centros de
gravedad de cuerpos bidimensionales y alambres [ecuaciones (5.2)] y los centroides de
áreas planas [ecuaciones (5.3)] y de líneas [ecuaciones (5.4)]. En los problemas que se
presentan a continuación, se deberán localizar los centroides de áreas compuestas y líneas
o tendrán que determinarse los primeros momentos del área de placas compuestas
[ecuaciones (5.8)].
1. Localización de centroides de áreas compuestas y líneas. Los problemas resueltos
5.1 y 5.2 ilustran el procedimiento que debe seguirse al resolver problemas de
este tipo. Sin embargo, hay ciertos puntos que se deben enfatizar.
a) El primer paso en la solución debe ser decidir cómo construir el área o la línea
dada, a partir de las formas comunes de la figura 5.8. Se debe reconocer que, en el caso
de áreas planas, una forma en particular se puede construir de varias maneras. Además,
mostrar las diferentes componentes (como se hace en el problema resuelto 5.1)
ayudará a establecer correctamente sus centroides y sus áreas o longitudes. No debe
olvidarse que, para obtener la forma deseada, es posible restar o sumar áreas.
b) Se recomienda que para cada problema se construya una tabla que contenga las
áreas o las longitudes y las coordenadas respectivas de sus centroides. Es esencial recordar
que las áreas que son “removidas” (por ejemplo los agujeros) se toman como negativas.
Además se debe incluir el signo de las coordenadas negativas. Por tanto, siempre
debe observarse la ubicación del origen de los ejes coordenados.
c) Cuando sea posible, se deben utilizar consideraciones de simetría [sección 5.4]
para determinar con mayor facilidad la ubicación de un centroide.
d) En las fórmulas de la figura 5.8 para el sector circular y para el arco del círcuIo,
el ángulo siempre debe ser expresado en radianes.
2. Cálculo de los primeros momentos de un área. Los procedimientos para ubicar
el centroide de un área y para determinar los primeros momentos de un área son
similares; sin embargo, para calcular estos últimos no es necesario determinar el área
total. Además, como se señaló en la sección 5.4, se debe reconocer que el primer momento
de un área con respecto a un eje centroidal es igual a cero.
3. Resolución de problemas que involucran al centro de gravedad. En los problemas
que se presentan a continuación se considera que los cuerpos son homogéneos;
por tanto, sus centros de gravedad coinciden con sus centroides. Además, cuando un
cuerpo que está suspendido de un solo perno está en equilibrio, el perno y el centro
de gravedad del cuerpo deben estar localizados sobre la misma línea vertical.
Pudiera parecer que muchos de los problemas en esta lección tienen poco que ver con
el estudio de la mecánica. Sin embargo, ser capaz de localizar el centroide de formas
compuestas será esencial en varios tópicos que se estudiarán más adelante.













3. Localise el centroide del area mostrado en la figura
A, in2 x, in. y, in. xA, in3 yA, in3
1 8 × 6 = 48 −4 9 −192 432
2 16 × 12 = 192 8 6 1536 1152
Σ 240 1344 1584

X = 5.60 in Y = 6.60 in.


















4. cuatro cajas están colocadas sobre una plancha de madera de 14kg que descansa en dos caballetes. Si las masas de las cajas B y D, son, respecivamente, de 4.5kg y 45kg, determine el rango de valores para la masa de la caja A si la plancha de madera permanece en equilibrio cuando se retira la caja C.

WA = mAg WD = mDg = 45 g
WB = mBg = 4.5g WG = mGg = 14g

(ma )minmA , E = 0

ΣMF = 0: (mAg )(2.5 m) + (4.5g )(1.6 m) +(14g )(1m) − (45g )(0.6 m) = 0

mA = 2.32 kg
(ma )maxmA , F = 0:

ΣME = 0: mAg (0.5 m) − (4.5g )(0.4 m) − (14g )(1m) −(45g )(2.6 m) = 0

mA = 265.6 kg

2.32 kg ≤ mA ≤ 266 kg





























































MOMENTO DE INERCIA




determine el momento de inercia



























A = A1 + A2 + A3
=(1.2 in. )( 0.3 in. ) + (2.4 in. )( 0.4 in. ) + (2.4 in.)(0.3 in.)


=(0.36 +0.96 +0.72 in )2
=2.04 in2

Ix = Ix 1 + Ix 2 + Ix 3

Ix=2.44in2
K2x=Ix/A= 2.4372 in4/2.04in2=1.1947 in

kx = 1.093 in

Ix = 2.44 in4






9.1 determine el momento de inercia y el radio de giro con respecto a x.


x = a, y1 = y2 = b
y1: b= ma o m= b/a

y2 : b ka3 o k= b/a3







El mastil montado en un camion de 4300 se usa para descargar de la plataforma la pila de tejas de 3500lb que se muestra en la figura. Determine la reacción en las llantas a) traseras, B, b) delanteras, C,.

WA = mAg = (1600 kg)(9.81m/s2 )

= 15696 N
WA = 15.696 kN
WG = mGg = (4300 kg)(9.81m/s2 )
= 42 183 N
WG = 42.183 kN

ΣMC = 0: (15.696 kN)(0.5 + 0.4 + 6cos15°) m − 2FB (0.5 + 0.4 + 4.3) m
+ (42.183 kN)(0.5 m) = 0

2FB=126.185/5.2=24.266 kN

FB = 12.13 kN

ΣMB = 0: (15.696 kN)(6cos15° − 4.3) m − (42.183 kN)(4.3 + 0.4) m
+ 2FC (4.3 + 0.9) m = 0

2FBC=174.786/5.2=33.613 kN
FC = 16.81 kN
ΣFy = 0: (33.613 − 42.183 + 24.266 − 15.696) kN = 0
(57.879 − 57.879) kN = 0